Dúbravka je odchovancem Žiliny, kde se téměř ihned po svém příchodu do prvního mužstva stal jedničkou. V dresu ‚Šošonů‘ slavil jeden mistrovský titul a v sezoně 2010/2011 odchytal obě utkání play-off Ligy mistrů, v němž slovenský tým vyřadil právě pražskou Spartu. V základní skupině poté nastoupil do všech šesti duelů.
V roce 2014 poprvé oblékl dres dánského Esbjergu, s nímž si dvakrát zahrál Evropskou ligu. Před startem sezony 2016/2017 přestoupil do Slovanu Liberec, v jehož dresu odchytal 28 zápasů a v deseti případech vychytal čisté konto.
Dúbravka taktéž patří do kádru slovenské seniorské reprezentace. Nastoupil v posledním kvalifikačním klání na půdě Litvy a přispěl k vítězství svého týmu 2:1.
